Forsvarsspilleren Ramiro Funes Mori bragte Everton i front i tillægstiden af første halvleg, da han scorede på en ripost.
Jesus Navas udlignede for Manchester City i anden halvleg, da han scorede for første gang i 66 kampe.
Everton løb dog med sejren, da holdets ubestridte topscorer Romelu Lukaku to minutter efter Navas' scoring slog sejren fast.
De to klubber spiller returopgør i Capital One Cuppen den 27. januar.